下面是小编为大家整理的对于圆外切四边形一个不等式（2022年）,供大家参考。
⊙I 内切于四边形 ABCD，求证：(AB+CD) 2 ≥(AI+DI) 2 +(BI+CI) 2 。
证明：设⊙I 的半径为 r，对圆外切四边形 ABCD，有 AB+CD=AD+BC。
先证 AI 2 /(AD*AB)+DI 2 /(AD*CD)=1， 显然 AI=r/sin(A/2)，DI=r/sin(D/2)， AD=r(ctanA/2+ctanD/2)，AB=r(ctanA/2+ctanB/2)， CD=r(ctanC/2+ctanD/2) 代入 AI 2 /(AD*AB)+DI 2 /(AD*CD)=1，并利用 A/2+B/2+C/2+D/2=π，可验证该等式成立。
应用柯西-施瓦茨不等式，得 AD(AB+CD)=AD*AB+AD*CD=(AD*AB+AD*CD)*[AI 2 /(AD*AB)+DI 2 /(AD*CD)]≥(AI+DI) 2 ，
（1）
同理可证等式 BI 2 /(AB*BC)+CI 2 /(BC*CD)=1 成立， 应用柯西-施瓦茨不等式，得 BC(AB+CD)≥(BI+CI) 2
（2）
（1）+（2）得， (AB+CD) 2 ≥(AI+DI) 2 +(BI+CI) 2 ， 等式成立的条件是 AI/(AD*AB)=DI/(AD*CD)，BI/(AB*BC)=CI/(BC*CD)， 即 AI/DI=BI/CI=AB/CD，于是 ΔABI∽ΔDCI，A=D，B=C，又由 A+B+C+D=2π，得 A+B=C+D=π，于是四边形 ABCD 是等腰梯形。
类似可证(AB+CD) 2 ≥(AI+BI) 2 +(CI+DI) 2 。
I
C
B
A
D
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